Цю таблицю дають на самому НМТ, тож завчати її не треба. Треба швидко знаходити потрібне. Натисни «перевір себе»: формули сховаються, спробуй пригадати самотужки, а тоді звір.
Під кожною темою є вхід у повну теорію: там ще приклад і те, на чому гублять бали. Позначка розбір означає, що для теми є реальне завдання НМТ з розподілом відповідей усієї країни.
Мішаний дріб спершу роблять неправильним: $1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$.
Ділення – це множення на обернений: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$.
Ділення на десятковий: множимо обидва числа на $10$, $100$, …, доки дільник не стане цілим ($3 : 0{,}3 = 30 : 3 = 10$).
Стандартний вигляд: $a \cdot 10^n$, де $1 \le a < 10$.
Три тотожності, на яких тримається майже кожне спрощення:
Мінус перед дужкою міняє знак кожного доданка в ній: $6 - (5x - 3) = 6 - 5x + 3$.
Зводити подібні можна лише тоді, коли збігається і буква, і її степінь.
Порядок завжди той самий: розклади на множники – тоді скорочуй.
Чисельник і знаменник розкладають різницею квадратів, квадратом суми або винесенням спільного множника, а тоді викреслюють однакову дужку.
$\dfrac{a^2 - 25b^2}{10b + 2a} = \dfrac{(a-5b)(a+5b)}{2(a+5b)} = \dfrac{a-5b}{2}$.
Дріб має зміст, лише поки знаменник не нуль, – саме тому в умові часто стоїть «якщо $a + 5b \ne 0$».
$p\,\%$ від числа $n$ – це $n \cdot \dfrac{p}{100}$.
Зміна на $p\,\%$: - зменшення: $n \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$ - збільшення: $n \cdot \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$.
$(ab)^n = a^n b^n$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, а $a^0 = 1$ при $a \ne 0$.
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ і $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$, де $a \ge 0$, $b > 0$.
$\sqrt{a^2} = |a|$, а корінь непарного степеня від'ємне число має: $\sqrt[3]{-27} = -3$.
$\log_a b = c$ означає рівно те саме, що $a^c = b$ (тут $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$).
Звідси $\log_a 1 = 0$ і $\log_a a^k = k$.
Основа «з'їдає» свій логарифм: $a^{\log_a b} = b$ повертає аргумент.
$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$, а $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$.
$|a| = a$, якщо $a \ge 0$, і $|a| = -a$, якщо $a < 0$. Модуль ніколи не буває від'ємним.
Звідси $\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$.
Модуль різниці не залежить від порядку: $|a - b| = |b - a|$.
Рівняння $|f| = c$ при $c > 0$ розпадається на два: $f = c$ і $f = -c$.
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Опорні значення: $\sin 30° = 0{,}5$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} 45° = 1$, $\sin 90° = 1$, $\cos 90° = 0$.
Період синуса й косинуса – $360°$, тому $\sin 450° = \sin 90° = 1$.
Рівняння виду $ax + b = c$, де $a \ne 0$. Розв'язок один:
$$x = \frac{c - b}{a}$$
Порядок дій: перенести вільний член праворуч → поділити на коефіцієнт при $x$.
$x^2 + bx + c = 0$. Найшвидший шлях – теорема Вієта:
$$x_1 + x_2 = -b, \qquad x_1 \cdot x_2 = c$$
Підбираємо пару цілих чисел, що дає потрібні суму й добуток. Якщо не підбирається – дискримінант: $D = b^2 - 4c$.
Звести обидві частини до однакової основи й прирівняти показники: якщо $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (де $a > 0$, $a \ne 1$), то $f(x) = g(x)$.
Числа праворуч теж стають степенем тієї самої основи: $81 = 3^4$, а $\dfrac{1}{16} = 2^{-4}$.
$\log_a x = c$ означає $x = a^c$ (основа $a > 0$, $a \ne 1$) – це прямий спосіб «зняти» логарифм.
Однакові основи по обидва боки – прирівнюй аргументи: із $\log_a M = \log_a N$ випливає $M = N$.
Суму згортай у логарифм добутку: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$.
Рівняння $\sin x = a$ чи $\cos x = a$ має корені лише при $-1 \le a \le 1$.
Прості значення: $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$.
Якщо аргумент складений ($\tfrac{x}{2}$, $2x$), спершу розв'яжи щодо аргумента, а тоді вирази $x$.
Нерівність розв'язують так само, як рівняння, з однією відмінністю: множення або ділення обох частин на від'ємне число перевертає знак.
Квадратна нерівність $ax^2 + bx + c \ge 0$ при $a > 0$ виконується зовні коренів; протилежна за знаком – між ними.
Два способи. Підстановка: з одного рівняння виразити змінну й підставити в друге. Додавання: домножити рівняння так, щоб при додаванні одна змінна зникла.
Розв'язок системи – це пара $(x;\,y)$, що задовольняє обидва рівняння одночасно.
Параметр $a$ – «застигла» буква: для кожного його значення виходить своє рівняння. Питають зазвичай, за яких $a$ виконується умова (є корені, рівно один корінь, система сумісна).
Умову на $a$ виводять із вимоги: дискримінант $\ge 0$, ОДЗ, монотонність тощо.
Функція парна, якщо $f(-x) = f(x)$: графік симетричний відносно осі $y$ ($y = x^2$, $y = \cos x$).
Функція непарна, якщо $f(-x) = -f(x)$: графік симетричний відносно початку координат ($y = x^3$, $y = \sin x$).
Нуль функції – те $x$, за якого $f(x) = 0$; на графіку це точка перетину з віссю $x$.
Зростання і спадання називають завжди НА проміжку: більшому $x$ відповідає більше $y$ (зростає) чи менше (спадає).
З графіка читають:
Перенесення: $y = f(x) + a$ зсуває графік угору на $a$, а $y = f(x - a)$ – Праворуч на $a$.
$\left(x^n\right)' = n x^{n-1}$, $C' = 0$, $(kx)' = k$.
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
$f'(x_0)$ – кутовий коефіцієнт дотичної: паралельна до осі $x$ означає $f'(x_0) = 0$.
Первісна $F$ – функція, похідна якої дає $f$ (тобто $F' = f$). Загальний вигляд усіх первісних – $F(x) + C$.
Основні: для $\cos x$ первісна $\sin x$; для $\sin x$ первісна $-\cos x$; для $e^x$ знову $e^x$; для $x^n$ – $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
Ньютон–Лейбніц: $\displaystyle\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$.
$a_n = a_1 + (n - 1)d$, звідси $a_m - a_k = (m - k)\,d$.
Сума перших $n$ членів:
$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$$
$b_n = b_1 q^{\,n-1}$, звідси $\dfrac{b_m}{b_k} = q^{\,m-k}$.
Сума перших $n$ членів при $q \ne 1$:
$$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$
Послідовність задають формулою: підставляєш номер – дістаєш член.
$a_n = 2n^2 - 3{,}5n$, отже $a_4 = 2 \cdot 16 - 3{,}5 \cdot 4 = 18$.
Множник $(-1)^n$ лише чергує знак: при парному $n$ він $+1$, при непарному $-1$. Так само поводиться $(-2)^n$, тільки ще й росте.
Прогресії – окремий випадок: у них член виражають через попередній, тут же через сам номер.
Суміжні кути доповнюють один одного до $180^\circ$; вертикальні кути рівні.
Дві паралельні прямі, перетнуті січною, дають рівні відповідні кути й рівні внутрішні різносторонні кути.
Через точку поза прямою можна провести рівно одну паралельну до неї.
Відстань між паралельними прямими стала: усі фігури, розміщені між тією самою парою прямих, мають однакову висоту.
Сума кутів трикутника – $180^\circ$. Зовнішній кут дорівнює сумі двох НЕсуміжних із ним внутрішніх кутів.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Медіана йде в середину сторони, бісектриса ділить кут навпіл, висота перпендикулярна до сторони – це різні лінії.
У прямокутному трикутнику з катетами $a$, $b$ і гіпотенузою $c$:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
Звідси: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, а катет $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.
Паралелограм: протилежні сторони рівні й паралельні, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Ромб – паралелограм з рівними сторонами, його діагоналі перпендикулярні. Прямокутник – з рівними діагоналями. Квадрат має обидві ці властивості.
Середня лінія трапеції – півсума основ.
Довжина кола $C = 2\pi R$, площа круга $S = \pi R^2$.
Вписаний кут удвічі менший за центральний, що спирається на ту саму дугу. Тому кут, що спирається на діаметр, – прямий.
Дотична перпендикулярна до радіуса в точці дотику. Рівняння кола: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Трикутник: $S = \dfrac{1}{2} a h_a = \dfrac{1}{2} ab \sin\gamma$, де $\gamma$ – кут між сторонами $a$ і $b$.
Паралелограм: $S = a h_a = ab \sin\alpha$; для ромба ще й $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$.
Трапеція: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$, де $h$ – відстань між основами.
Круг: $S = \pi R^2$, де $R$ – радіус.
Дві прямі в просторі бувають паралельні, перетинні (лежать в одній площині) або мимобіжні – не лежать в одній площині.
Пряма щодо площини: лежить у ній, паралельна їй або перетинає її.
Ознака паралельності прямої й площини: пряма паралельна деякій прямій, що лежить у площині.
Призма – два рівні паралельні многокутники (основи), з'єднані бічними гранями. Бічні грані – паралелограми, а в прямій призмі – прямокутники (бічні ребра перпендикулярні до основ).
$n$-кутна призма має $2$ основи й $n$ бічних граней.
Піраміда – многокутник-основа та спільна вершина над нею; усі бічні грані – трикутники зі спільною вершиною.
Правильна піраміда: в основі правильний многокутник, а вершина – над його центром. Тоді бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники, і висота такого трикутника зветься апофемою.
Циліндр – тіло обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Дві основи – рівні круги радіуса $R$; осьовий переріз – прямокутник $2R \times h$.
Твірна з'єднує основи; усі твірні паралельні осі й дорівнюють висоті $h$.
Конус – тіло обертання прямокутного трикутника навколо його катета. Цей катет стає висотою $h$, другий катет – радіусом $R$, а гіпотенуза – твірною $l$.
Звідси $l^2 = R^2 + h^2$. Осьовий переріз – рівнобедрений трикутник.
Сфера – усі точки простору на відстані $R$ від центра. Точка лежить на сфері тоді й лише тоді, коли відстань від неї до центра дорівнює $R$.
Рівняння сфери з центром $(a;\,b;\,c)$: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Призма й циліндр: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, зокрема циліндр – $V = \pi R^2 h$.
Піраміда й конус: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, зокрема конус – $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$.
Куля: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, площа сфери $S = 4\pi R^2$.
Повна поверхня – це бічна плюс основи: $S = S_{\text{бічн}} + 2 S_{\text{осн}}$ (у призми й циліндра дві основи).
Циліндр: $S_{\text{бічн}} = 2\pi R h$. Конус: $S_{\text{бічн}} = \pi R l$ (через твірну $l$). Сфера: $S = 4\pi R^2$.
Переріз – многокутник, по якому площина розтинає тіло.
Осьовий переріз проходить через вісь: у циліндра це прямокутник $2R \times h$, у конуса – рівнобедрений трикутник.
Діагональний переріз призми чи піраміди – площина через діагональ основи (а в піраміди ще й через вершину).
Коло з центром $(a;\,b)$ і радіусом $R$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Центр читається зі знаком, протилежним до дужки: у $(x - 3)^2$ центр по $x$ дорівнює $3$.
Відстань між точками – корінь із суми квадратів різниць: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$.
Відстань між точками – це просторова теорема Піфагора: корінь із суми квадратів різниць координат, $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$.
Середина відрізка – півсума координат кінців: кожну координату додай і поділи на $2$.
Координати вектора – «кінець мінус початок»: $\vec{AB} = (x_B - x_A;\, y_B - y_A;\, z_B - z_A)$.
Модуль (довжина) – корінь із суми квадратів координат: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Суму й різницю рахують покоординатно.
Середнє – сума всіх значень, поділена на їх кількість.
Мода – значення, яке трапляється найчастіше. Медіана – те, що стоїть посередині впорядкованого ряду. Розмах – різниця найбільшого й найменшого.
Вибір по кроках («і») – множимо: $7$ моделей, $4$ кольори, $3$ страховики дають $7 \cdot 4 \cdot 3 = 84$.
Вибір одного з кількох джерел («або») – додаємо: $10 + 20 + 14 = 44$.
Якщо порядок важливий, перестановок $n!$; якщо не важливий – сполучень
$$C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$
$P = \dfrac{m}{n}$, де $m$ – сприятливі випадки, $n$ – усі рівноможливі. Завжди $0 \le P \le 1$.
Для несумісних подій «або» означає додавання: $P = \dfrac{m_1 + m_2}{n}$.
Алгоритм: познач невідоме за $x$, склади рівняння з умови, розв'яжи й перевір за змістом.
Слова умови перекладаються так: «частина від числа» – множення; «на скільки більше» – різниця; «у скільки разів» – частка; зміна на $p\%$ – множник $1 \pm \dfrac{p}{100}$.