НМТ з математики, 24 травня 2025

Спростіть вираз $\dfrac{6x+12}{3}$.

• А $2x+12$
• Б $2x+4$
• В $6x+4$
• Г $3x+12$
• Д $3x+3$

Залежність заряду акумуляторної батареї смартфона від часу заряджання відображено на графіку (див. рисунок). За графіком визначте заряд акумуляторної батареї через $1$ год $20$ хв після початку заряджання.

• А $50\,\%$
• Б $60\,\%$
• В $70\,\%$
• Г $80\,\%$
• Д $90\,\%$

Довжина сторони ромба $ABCD$ (див. рисунок) виражається цілим числом. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

• А $38$
• Б $42$
• В $56$
• Г $65$
• Д $82$

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\dfrac{4}{13}x = -3\dfrac{12}{13}$.

• А $(-70;\,-55)$
• Б $(-55;\,-10)$
• В $(-10;\,-4)$
• Г $(-4;\,3)$
• Д $(3;\,11)$

Бічна грань правильної шестикутної піраміди є

• А рівнобедреним трикутником
• Б паралелограмом, що не є прямокутником
• В шестикутником
• Г прямокутним трикутником з гострим кутом $30^\circ$
• Д прямокутником

Укажіть парну функцію.

• А $y = 3^{2x}$
• Б $y = \sin x + 1$
• В $y = \dfrac{3}{x}$
• Г $y = 2x^4$
• Д $y = 2x$

Які з наведених тверджень є правильними? I. Існує прямокутна трапеція, навколо якої можна описати коло. II. Існує прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло. III. Існує прямокутна трапеція, висота якої вдвічі менша за більшу бічну сторону.

• А лише I
• Б лише II
• В лише III
• Г лише II і III
• Д I, II та III

$|2\sqrt{2} - 3| = $

• А $3 - 2\sqrt{2}$
• Б $2\sqrt{2} - 3$
• В $2\sqrt{2} + 3$
• Г $-2\sqrt{2} - 3$
• Д $\sqrt{2}$

Масу дорогоцінних каменів вимірюють у каратах. Один карат дорівнює $0{,}2$ г. Обчисліть масу діаманта масою $0{,}8$ карата, подану в кілограмах.

• А $4 \cdot 10^{-3}$ кг
• Б $1{,}6 \cdot 10^{-2}$ кг
• В $1{,}6 \cdot 10^{-3}$ кг
• Г $1{,}6 \cdot 10^{-4}$ кг
• Д $4 \cdot 10^{-4}$ кг

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці $O(11;\,-3;\,-5)$. Точка $A(-1;\,2;\,-5)$ належить цій сфері. Яка з наведених точок також лежить усередині цієї сфери?

• А $(11;\,-3;\,10)$
• Б $(11;\,-3;\,6)$
• В $(11;\,-3;\,19)$
• Г $(11;\,-3;\,-19)$
• Д $(11;\,-3;\,-19)$

Розв'яжіть нерівність $(2x+1)^2 < 9$.

• А $(-1;\,2)$
• Б $(-\infty;\,-2) \cup (1;\,+\infty)$
• В $(-\infty;\,-2)$
• Г $(-\infty;\,-1) \cup (2;\,+\infty)$
• Д $(-2;\,1)$

На стороні $BC$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $AK = 8$ см, $\angle BAK = 30^\circ$ (див. рисунок). $AK$ – бісектриса кута $BAC$. Знайдіть площу цього прямокутника.

• А $16$ см$^2$
• Б $48\sqrt{3}$ см$^2$
• В $24\sqrt{3}$ см$^2$
• Г $48$ см$^2$
• Д $16\sqrt{3}$ см$^2$

Знайдіть похідну функції $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x}$.

• А $f'(x) = -\dfrac{3}{x^2}$
• Б $f'(x) = 3$
• В $f'(x) = 3\ln|x|$
• Г $f'(x) = 2x + 3\ln|x|$
• Д $f'(x) = \dfrac{3}{x^2}$

Розв'яжіть систему рівнянь $$\begin{cases} 2^{y+2x} = 64 \\ 2x - y = 12 \end{cases}$$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 =$

• А $4{,}5$
• Б $9$
• В $1{,}5$
• Г $7{,}5$
• Д $-3$

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\cos \alpha} = $

• А $1$
• Б $-\operatorname{tg} \alpha$
• В $\dfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$
• Г $\operatorname{tg} \alpha$
• Д $-1$

Діагоналі $AC$ і $BD$ паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). З точки $O$ на сторону $AD$ опущено перпендикуляр $OK = 15$ см. $BC = 50$ см, $KD = 17$ см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А–Д).

• 1 Висота, проведена до $AD$
• 2 Проєкція $AB$ на $AD$
• 3 $CD$
• А $14$ см
• Б $16$ см
• В $24$ см
• Г $30$ см
• Д $34$ см

Установіть відповідність між твердженням (1–3) і прямою, зображеною на рисунку (А–Д), для якої твердження є правильним.

• 1 не має спільних точок із графіком функції $y = \log_2(x-1)$
• 2 є графіком функції $y = \dfrac{2x}{3} - 2$
• 3 кутовий коефіцієнт прямої є від'ємним числом
• А пряма А
• Б пряма Б
• В пряма В
• Г пряма Г
• Д пряма Д

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А–Д).

• 1 $\dfrac{3}{3^{-3}}$
• 2 $\log_{8} \sqrt[3]{2}$
• 3 $2(\cos 30^\circ - 0{,}5)(\cos 30^\circ + 0{,}5)$
• А $1$
• Б $\dfrac{1}{9}$
• В $\sqrt{3}$
• Г $3$
• Д $81$

Знайдіть найменше ціле значення $a$, за якого коло $(x - 11 - 3a)^2 + (y + 2)^2 = 49$ двічі перетинає вісь ординат.

За умовами договору позичальник повинен повернути кредит протягом $12$ місяців. Першого місяця він має повернути $1300$ грн, а кожного наступного місяця – на $50$ грн менше, ніж попереднього. Визначте загальну суму (у грн), яку повинен позичальник повернути протягом $12$ місяців.

Фермер планує висадити $6$ рядів саджанців: $4$ ряди – кісточкові (абрикос, персик, вишня, слива) та $2$ ряди – плодові (яблуня та груша). У кожному ряду мають бути однакові саджанці. Скільки всього є варіантів оформлення саду в нього є, якщо $4$ ряди кісточкових саджанців мають бути поруч?

Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є прямокутний трикутник. Визначте об'єм цієї піраміди (у см$^3$), якщо площа її основи дорівнює $288$ см$^2$.