НМТ з математики, 18 червня 2025

Укажіть розв'язок рівняння $\dfrac{5 - x}{4} = 3$.

• А $17$
• Б $2$
• В $-7$
• Г $-17$
• Д $7$

У суміші цибулин тюльпанів рожеві становлять третину всіх тюльпанів, білі – половину, а чорні – решту. Яка ймовірність того, що з навмання взятої цибулини виросте білий або рожевий тюльпан?

• А $\dfrac{4}{5}$
• Б $\dfrac{1}{6}$
• В $\dfrac{2}{5}$
• Г $\dfrac{1}{5}$
• Д $\dfrac{5}{6}$

На рисунку зображено ромб $ABCD$. Периметр трикутника $ABC$ дорівнює $18$ см, $AC = 5$ см. Знайдіть периметр ромба.

• А $13$ см
• Б $36$ см
• В $40$ см
• Г $26$ см
• Д $52$ см

Спростіть вираз $\dfrac{a^2 + 2a}{2a + 4}$.

• А $\dfrac{a^2}{4}$
• Б $\dfrac{a}{2}$
• В $4a^2$
• Г $2a$
• Д $\dfrac{a}{4}$

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$ з основою $ABC$. $SM$ – апофема піраміди. Бічною гранню цієї піраміди є

• А $SA$
• Б $SCM$
• В $ABC$
• Г $ABS$
• Д $SB$

Укажіть із-поміж наведених рисунок, на якому може бути зображено графік функції $y = kx + b$, якщо $k = 0$.

• А Рисунок А
• Б Рисунок Б
• В Рисунок В
• Г Рисунок Г
• Д Рисунок Д

Які з наведених тверджень є правильними? I. Середня лінія трапеції проходить через середини діагоналей. II. Середня лінія трапеції більша від половини більшої основи. III. Середня лінія трапеції ділить її на дві рівновеликі трапеції.

• А лише I
• Б лише II
• В лише III
• Г лише I та II
• Д лише I та III

$\bigl|1 - 0{,}5^{-3}\bigr| = $

• А $7$
• Б $-1{,}5$
• В $-7$
• Г $8$
• Д $1{,}5$

Водонапірний насос має пропускну здатність $5$ літрів води за хвилину. Визначте максимальну кількість води, яка може бути використана для миття рук, що триває $2$ хвилини.

• А $2$ л
• Б $5$ л
• В $7$ л
• Г $10$ л
• Д $25$ л

У прямокутній системі координат у просторі задано сфери, що мають внутрішній дотик (див. рисунок). $A(9;\,-2;\,4)$ – точка дотику сфер, $B(1;\,7;\,-8)$ – центр меншої сфери. Яким найменшим з-поміж наведених може бути радіус сфери з центром у точці $O$?

• А $36$
• Б $21$
• В $17$
• Г $42$
• Д $56$

Розв'яжіть нерівність $10^{\,x-2} > 1$.

• А $(-\infty;\,2)$
• Б $(-2;\,+\infty)$
• В $(2;\,+\infty)$
• Г $(12;\,+\infty)$
• Д $(3;\,+\infty)$

У прямокутнику $ABCD$ точка $L$ належить стороні $AD$, $AC$ – діагональ прямокутника, що утворює з більшою його стороною кут $\alpha$ (див. рисунок). $AL = 3$ см, $AO = 4$ см, $OC = 16$ см. Знайдіть $\cos \alpha$.

• А $\dfrac{3}{5}$
• Б $\dfrac{3}{4}$
• В $\dfrac{2}{3}$
• Г $\dfrac{1}{4}$
• Д $\dfrac{4}{5}$

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6 - a_1 = -30$. Знайдіть значення виразу $a_1 - a_3$.

• А $-12$
• Б $6$
• В $-6$
• Г $30$
• Д $12$

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $2\cos 450^\circ + \operatorname{tg}(-60^\circ)$.

• А $[-3;\,-2)$
• Б $[-2;\,-1)$
• В $[-1;\,0)$
• Г $[0;\,1)$
• Д $[1;\,2)$

Розв'яжіть рівняння $2(x^2 - x) = x^2 + 3$.

• А $-1$; $3$
• Б $\varnothing$
• В $-2$; $1$
• Г $-3$; $1$
• Д $\dfrac{1 - \sqrt{10}}{2}$; $\dfrac{1 + \sqrt{10}}{2}$

Доберіть до виразу (1–3) його значення (А–Д), якщо $a = \sqrt{2}$.

• 1 $a^6$
• 2 $(a - 3)(a + 3)$
• 3 $81^{\log_3 a}$
• А $-7$
• Б $-1$
• В $4$
• Г $8$
• Д $64$

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А–Д).

• 1 $y = \lg x$
• 2 $y = \dfrac{1}{x}$
• 3 $y = (x + 1)^2$
• А зростає на всій області визначення
• Б парна
• В має точку максимуму
• Г не визначена лише в одній точці
• Д має точку мінімуму

На паралельних прямих $n$ і $m$ розміщено круговий сектор $ABC$, рівнобедрений трикутник $DKL$ ($DK = KL$) й паралелограм $LMNP$ (див. рисунок). Площа сектора $ABC$ дорівнює $64\pi$ см$^2$, площа паралелограма $LMNP$ дорівнює $288$ см$^2$, $DK = 20$ см. Увідповідніть відрізок (1–3) та його довжину (А–Д).

• 1 $AB$
• 2 $DL$
• 3 $LP$
• А $12$ см
• Б $16$ см
• В $18$ см
• Г $20$ см
• Д $24$ см

Визначте значення $a$, за якого система рівнянь $\begin{cases} 0{,}2^{\,x} + y^2 = 3a + 12, \\ 0{,}2^{\,x-1} + 3y^2 = 7a + 42 \end{cases}$ має єдиний розв'язок.

Відомо, що $\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = 9$, $\displaystyle\int_{-1}^{2} g(x)\,dx = -7$. Обчисліть $\displaystyle\int_{-1}^{2} \bigl(3f(x) - 2g(x) + 6x\bigr)\,dx$.

На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих смартфонів протягом $5$ місяців. На скільки відсотків середня кількість проданих за місяць смартфонів перевищує кількість смартфонів, проданих у квітні?

Конус і правильна чотирикутна призма мають рівні висоти. Радіус описаного навколо основи призми кола дорівнює радіусу основи конуса. Визначте об'єм (у см$^3$) призми, якщо діагональ її основи дорівнює $16$ см, а твірна конуса – $17$ см.