НМТ з математики, 5 червня 2025

$\left(-6x^3\right)^2 = $

• А $-6x^5$
• Б $36x^6$
• В $-12x^5$
• Г $-36x^6$
• Д $36x^5$

На рисунку зображено графік залежності висоти $h$ (у метрах) м'яча, кинутого в повітря, від часу $t$ (у секундах), що минув від початку запуску. Визначте проміжок часу, протягом якого м'яч знаходився на висоті не менше $3$ м.

• А $2$ с
• Б $3$ с
• В $4$ с
• Г $5$ с
• Д $6$ с

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з п'яти довгих і чотирьох коротких стрілок, які виходять з вершини розгорнутого кута та поділяють його на рівні частини. Знайдіть градусну міру кута між двома довгими сусідніми стрілками.

• А $18^\circ$
• Б $20^\circ$
• В $30^\circ$
• Г $36^\circ$
• Д $40^\circ$

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\left(\dfrac{3}{8}\right)^x = \dfrac{8}{3}$.

• А $(-6;\,-4)$
• Б $(-4;\,-2)$
• В $(-2;\,0)$
• Г $(0;\,2)$
• Д $(2;\,4)$

Графік функції $y = 3^x$ паралельно перенесли на $2$ одиниці вниз уздовж осі $y$. Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.

• А $y = 3^x - 2$
• Б $y = \dfrac{3^x}{2}$
• В $y = 3^x + 2$
• Г $y = 3^{x+2}$
• Д $y = 3^{x-2}$

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD$. Скільки різних прямих, паралельних прямій $AB$, можна провести через точку $S$?

• А жодної
• Б лише одну
• В лише дві
• Г лише три
• Д більше трьох

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними? I. Точка $M$ є серединою $BC$. II. Промінь $AM$ є бісектрисою $\angle A$. III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $AMC$.

• А лише I
• Б лише I та II
• В лише I та III
• Г лише II та III
• Д I, II та III

$\left|\dfrac{2{,}5^2 - 7{,}5^2}{3{,}5 + 6{,}5}\right| = $

• А $-5$
• Б $-1$
• В $0{,}5$
• Г $1$
• Д $5$

У травні заробітна плата працівника зросла на $2\ \%$ порівняно з квітнем. Якою була заробітна плата цього працівника в квітні, якщо вона була меншою на $605$ грн, ніж у травні?

• А $60\,500$ грн
• Б $1210$ грн
• В $121\,000$ грн
• Г $3250$ грн
• Д $30\,250$ грн

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед, одна з вершин якого збігається з початком координат – точкою $O$, а три ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка $K(12;\,15;\,16)$ є вершиною паралелепіпеда. Визначте довжину (модуль) вектора $\overrightarrow{OK}$.

• А $\sqrt{86}$
• Б $\sqrt{337}$
• В $11$
• Г $25$
• Д $43$

Розв'яжіть нерівність $\log_3 (2x - 1) < 2$.

• А $(0{,}5;\,5)$
• Б $(-\infty;\,3{,}5)$
• В $(0{,}5;\,3{,}5)$
• Г $(-\infty;\,5)$
• Д $(0{,}5;\,+\infty)$

У паралелограмі $ABCD$ з гострим кутом $\angle A = 30^\circ$ проведено висоту $BK$ (див. рисунок). Довжина відрізка $MN$, що з'єднує середини висоти $BK$ й сторони $CD$, дорівнює $24$ см. Визначте площу паралелограма $ABCD$, якщо $KD = 18$ см.

• А $60\sqrt{3}$ см$^2$
• Б $360\sqrt{3}$ см$^2$
• В $63$ см$^2$
• Г $120\sqrt{3}$ см$^2$
• Д $240\sqrt{3}$ см$^2$

Знайдіть похідну функції $f(x) = 6x^2 + 4\sqrt{x} + 3$.

• А $f'(x) = 12x + \dfrac{2}{\sqrt{x}}$
• Б $f'(x) = 6x + \dfrac{4}{\sqrt{x}}$
• В $f'(x) = 2x^3 + \dfrac{8\sqrt{x^3}}{3} + 3x$
• Г $f'(x) = 12x + \dfrac{8}{\sqrt{x}}$
• Д $f'(x) = 6x + 2\sqrt{x}$

$4\sin 450^\circ + \operatorname{tg} 135^\circ = $

• А $-3$
• Б $-5$
• В $3$
• Г $-1$
• Д $5$

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} x - \dfrac{3}{y} = 3, \\[4pt] x + \dfrac{1}{y} = 11. \end{cases}$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 = $

• А $5$
• Б $-2{,}5$
• В $6{,}5$
• Г $9{,}5$
• Д $2$

Коло із центром у точці $O$ дотикається трьох сторін прямокутника $ABCD$ (див. рисунок). Вершина $K$ прямокутного рівнобедреного трикутника $AKB$ належить колу. $AB = 12$ см. Доберіть до кожного початку речення (1–3) його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

• 1 Довжина радіуса $OK$ кола дорівнює
• 2 Довжина відрізка $BK$ дорівнює
• 3 Відстань від точки $O$ до вершини $A$ дорівнює
• А $6$ см.
• Б $8$ см.
• В $6\sqrt{2}$ см.
• Г $6\sqrt{5}$ см.
• Д $18$ см.

Доберіть до кожного речення (1–3) його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

• 1 Графіком рівняння $y + 1 = 0$ є
• 2 Графіком рівняння $y + x^2 = 0$ є
• 3 Графіком рівняння $x^2 + y^2 = 1$ є
• А пряма, паралельна осі $x$.
• Б пряма, паралельна осі $y$.
• В парабола, у якої вітки напрямлені вгору.
• Г парабола, у якої вітки напрямлені вниз.
• Д коло.

Число $\varphi = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$ називають золотим перетином, яке тісно пов'язане з послідовністю чисел Фібоначчі. Узгодьте вираз (1–3) й точку (А–Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу.

• 1 $\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - \varphi$
• 2 $\left(1 - \sqrt{5}\right) \cdot \varphi$
• 3 $\log_5 \left(2\varphi - \sqrt{5}\right)$
• А $K$
• Б $L$
• В $M$
• Г $N$
• Д $P$

Знайдіть значення $a$, за якого сума коренів рівняння $10x - 2a - 7\sqrt{5x - a} + 3 = 0$ дорівнює $1{,}5$.

Графіки функцій $y = f(x)$ й $y = x^2 - 2x + 3$ перетинаються в точках з абсцисами $x_1 = 0$ й $x_2 = 3$ (див. рисунок). Обчисліть площу зафарбованої фігури, якщо $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 14{,}1$.

Для учнів $6$ класу в школі створили гурток пластунів. Гурток відвідують $10$ дівчаток і $n$ хлопчиків. Середній зріст дівчинки – $142{,}5$ см, а хлопчика – $141$ см. Визначте $n$, якщо середній зріст дитини, яка відвідує гурток, дорівнює $141{,}5$ см.

Задано сферу з площею поверхні $64\pi$ см$^2$ і правильну трикутну призму. Радіус кола, уписаного в основу призми, дорівнює радіусу сфери, а висота призми дорівнює стороні її основи. Визначте об'єм (у см$^3$) призми.