НМТ з математики, 17 червня 2025

Спростіть вираз $a - (12a + 5a)$.

• А $-18a$
• Б $-16a$
• В $a - 17a^2$
• Г $-17a$
• Д $-6a$

На рисунку відображено зміну густини (мкг/м$^3$) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в деякому районі міста. Упродовж скількох годин густина такого пилу в повітрі перевищувала допустимий середньодобовий рівень, що становить $25$ мкг/м$^3$?

• А $3$
• Б $5$
• В $6$
• Г $12$
• Д $18$

Продуктивність сонячної панелі $OA$ є максимальною, якщо панель перпендикулярна до напрямку $CD$ падіння сонячних променів (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha$ між панеллю й горизонтальною поверхнею $OD$, якщо в заданий час кут падіння сонячних променів дорівнює $51^\circ$. Уважайте, що прямі $OA$, $CD$ та $OD$ лежать в одній площині.

• А $141^\circ$
• Б $49^\circ$
• В $129^\circ$
• Г $41^\circ$
• Д $39^\circ$

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{2}{x} = 1\dfrac{2}{3}$.

• А $1\dfrac{1}{5}$
• Б $\dfrac{5}{6}$
• В $3$
• Г $1\dfrac{1}{3}$
• Д $3\dfrac{1}{3}$

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$ з основою $ABC$. Скільки всього прямих, паралельних площині основи піраміди, можна провести через її вершину $S$?

• А жодної
• Б лише одну
• В лише дві
• Г лише три
• Д безліч

На якому рисунку зображено графік функції $y = \dfrac{3}{2}x - 1$?

• А Рисунок А
• Б Рисунок Б
• В Рисунок В
• Г Рисунок Г
• Д Рисунок Д

Які з наведених тверджень є правильними? I. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від його вершин. II. Сума довжин діагоналей квадрата дорівнює сумі довжин його сторін. III. Діагональ квадрата ділить його на два рівновеликих трикутники.

• А лише I
• Б лише II
• В лише I та II
• Г лише I та III
• Д I, II та III

$\sqrt{18} - \sqrt{8} = $

• А $\sqrt{10}$
• Б $10$
• В $5$
• Г $1$
• Д $\sqrt{2}$

З одного літра ропи (насичений розчин солі), яку видобувають у солеварні Дрогобича, отримують $300$ г солі. Визначте масу (у кг) солі, яку отримують у солеварні з $9000$ літрів ропи.

• А $2700$
• Б $300$
• В $270\,000$
• Г $3000$
• Д $27\,000$

Відстань до якої з наведених точок від точки $K(0;\,0;\,2)$ є найменшою?

• А $(2;\,0;\,2)$
• Б $(0;\,0;\,3)$
• В $(-5;\,0;\,2)$
• Г $(0;\,0;\,-2)$
• Д $(0;\,3;\,2)$

Укажіть розв'язок нерівності $-4 < 6 - 2x < 2$.

• А $1$
• Б $2$
• В $0$
• Г $3$
• Д $5$

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$. Точка $K$ – середина сторони $AD$. Довжина відрізка, що сполучає середини сторони $AB$ й відрізка $KC$, дорівнює $d$. Визначте площу прямокутника $ABCD$, якщо $\angle CKD = 60^\circ$.

• А $\dfrac{8d^2}{9}$
• Б $\dfrac{8d^2\sqrt{3}}{27}$
• В $\dfrac{9d^2\sqrt{3}}{4}$
• Г $\dfrac{8d^2\sqrt{3}}{9}$
• Д $\dfrac{4d^2\sqrt{3}}{9}$

Обчисліть суму перших десяти членів арифметичної прогресії $(a_n)$, якщо $a_1 + a_{10} = -12$.

• А $-120$
• Б $-240$
• В $-12$
• Г $120$
• Д $-60$

Якщо $a < -2$, то $1 - |a - 2| = $

• А $-a - 3$
• Б $a - 1$
• В $a + 3$
• Г $-a + 3$
• Д $-a - 1$

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_{0{,}5} x = 2\log_{0{,}5} 2$.

• А $(-\infty;\,0)$
• Б $[0;\,1)$
• В $[1;\,3)$
• Г $[3;\,10)$
• Д $[10;\,+\infty)$

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$. Точка $K$ є серединою сторони $BC$, $KP$ – висота паралелограма, $AP = 20$ см, $PD = 10$ см, $PK = 12$ см. Узгодьте початок речення (1–3) та його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

• 1 Довжина відрізка $KC$ дорівнює
• 2 Довжина середньої лінії трапеції $PKCD$ дорівнює
• 3 Довжина сторони $AB$ дорівнює
• А $10$ см.
• Б $12$ см.
• В $12{,}5$ см.
• Г $13$ см.
• Д $15$ см.

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-4;\,5]$. Узгодьте проміжок (1–3) з властивістю (А–Д), яку має функція на цьому проміжку.

• 1 $[-4;\,-2]$
• 2 $[-2;\,2]$
• 3 $[2;\,5]$
• А функція зростає
• Б функція має точку мінімуму
• В функція спадає
• Г графік функції є фрагментом графіка функції $y = 1 - x^2$
• Д функція набуває лише додатних значень

Доберіть до кожного речення (1–3) його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $m > 0$.

• 1 Якщо $m \cos x \cdot \operatorname{tg} x = 2n \sin x$, то
• 2 Якщо $\sqrt{2m^2} = n$, то
• 3 Якщо $4^{\log_2 m} = n$, то
• А $n = 2m$.
• Б $n = m^2$.
• В $n = 2^m$.
• Г $n = m\sqrt{2}$.
• Д $n = \dfrac{m}{2}$.

Визначте кількість усіх цілих значень $a$, за кожного з яких система рівнянь $\begin{cases} 4^x + 2y^2 = 22, \\ 4^x - y^2 = 13 - 3a \end{cases}$ має принаймні один розв'язок.

Обчисліть інтеграл $\displaystyle\int_2^5 \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}\,dx$.

На рисунку зірочками позначено річні мінімуми площі (млн км$^2$, округлені до десятих) поверхні арктичного льоду, що спостерігали в період із $2010$ до $2014$ р. Визначте середнє значення (млн км$^2$) річного мінімуму площі поверхні льоду за вказаний період. Обчисліть різницю (млн км$^2$) середнього значення і найближчого до нього значення річного мінімуму площі поверхні льоду. У відповіді запишіть модуль цієї різниці.

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб зі стороною $10$ см. Радіус вписаного кола в основу призми дорівнює радіусу основи циліндра. Знайдіть об'єм (у см$^3$) призми, якщо площа основи циліндра дорівнює $9\pi$ см$^2$, а його твірна – $25$ см.