НМТ з математики, 31 травня 2025

$\left(1\dfrac{2}{3}\right)^{-1} = $

• А $\dfrac{3}{5}$
• Б $\dfrac{5}{3}$
• В $1{,}5$
• Г $-1\dfrac{2}{3}$
• Д $1\dfrac{3}{5}$

На діаграмі відображено інформацію про кількісний розподіл за кольорами стрічок, із яких плетуть маскувальні сітки. Білі стрічки додають до сітки відповідного кольору, використовуючи кольорові стрічки залежного кольору, виокремлюючи їх для літніх сіток в зелену й білу, а сірі – восени. За діаграмою визначте, у скільки разів кількість зелених перевищує кількість коричневих маскувальних сіток влітку.

• А $20$
• Б $10$
• В $2{,}5$
• Г $30$
• Д $1{,}5$

Група туристів рухається у напрямку $OA$, утворюючи кут $15^\circ$ із напрямком «північ» (див. рисунок). На який кут потрібно повернути цій групі, щоб вони рухалися в напрямку «південний схід»?

• А $75^\circ$
• Б $85^\circ$
• В $110^\circ$
• Г $120^\circ$
• Д $125^\circ$

Розв'яжіть систему рівнянь $$\begin{cases} -2x = 6 \\ \dfrac{y}{3} = 9 \end{cases}$$

• А $(-3;\,3)$
• Б $(4;\,27)$
• В $(3;\,-27)$
• Г $(4;\,3)$
• Д $(-3;\,27)$

Дві твірні циліндра

• А збігаються
• Б паралельні
• В мимобіжні
• Г перетинаються під гострим кутом
• Д перпендикулярні

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-4;\,3]$. Укажіть множину значень функції $y = f(x) - 2$.

• А $[-1;\,2]$
• Б $[1;\,4]$
• В $[-3;\,0]$
• Г $[-4;\,-1]$
• Д $[-2;\,5]$

Які з наведених тверджень є правильними? I. Будь-який ромб є паралелограмом. II. Будь-яка висота ромба, проведена з його вершини, проходить через точку перетину діагоналей ромба. III. Діагоналі ромба ділять його на два рівні трикутники.

• А лише I
• Б лише II
• В лише I та II
• Г лише I та III
• Д I, II та III

Спростіть вираз $\dfrac{2a^2 - 50b^2}{5b + a}$.

• А $2a + 10b$
• Б $\dfrac{2}{a - 5b}$
• В $\dfrac{2}{5b - a}$
• Г $\dfrac{2}{a + 5b}$
• Д $2a - 10b$

В одному гігабайті міститься $2^{20}$ кілобайтів. Скільки кілобайтів у $8$ гігабайтах?

• А $2^{23}$
• Б $2^{27}$
• В $16 \cdot 2^{23}$
• Г $2^{160}$
• Д $2^{60}$

У прямокутній системі координат у просторі задано точку $A(-1;\,4;\,5)$. Укажіть координати точки, що є проєкцією точки $A$ на вісь $y$.

• А $(-1;\,0;\,5)$
• Б $(0;\,4;\,0)$
• В $(-1;\,0;\,0)$
• Г $(0;\,-4;\,0)$
• Д $(0;\,0;\,5)$

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2x-6} > \dfrac{1}{16}$.

• А $(-\infty;\,5)$
• Б $(4;\,+\infty)$
• В $(-\infty;\,-2)$
• Г $(-2;\,5)$
• Д $(-\infty;\,4)$

На рисунку зображено квадрат $ABCD$ зі стороною $24$ см. На сторонах $BC$ і $AD$ квадрата вибрано відповідно точки $K$ і $M$ так, що $AM : MD = 1 : 2$, $KC = 6$ см. Знайдіть довжину відрізка $KM$.

• А $27$ см
• Б $25$ см
• В $26$ см
• Г $32$ см
• Д $34$ см

У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_1 = 5$, $b_3 = \dfrac{b_5}{10}$. Знайдіть $b_5$.

• А $50$
• Б $2$
• В $0{,}05$
• Г $500$
• Д $0{,}5$

$|\log_{0{,}2} 25 - 1| = $

• А $\log_{0{,}2} 24$
• Б $-3$
• В $4$
• Г $3$
• Д $-\log_{0{,}2} 24$

Укажіть корінь рівняння $\sin \dfrac{x}{2} = 1$.

• А $-\pi$
• Б $-\dfrac{\pi}{4}$
• В $-3\pi$
• Г $\dfrac{\pi}{4}$
• Д $3\pi$

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та два кола. Перше коло з центром у точці $O_1$ описано навколо цього прямокутника. Площа круга, обмеженого колом з центром у точці $O_1$, дорівнює $625\pi$ см$^2$. Друге коло з центром у точці $O_2$ дотикається до сторін $AB$, $BC$ та $AD$. $AB = 30$ см. Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А–Д), щоб утворилося правильне твердження.

• 1 Відстань від $O_2$ до сторони $BC$ дорівнює
• 2 Довжина сторони $AD$ дорівнює
• 3 Довжина відрізка $O_1O_2$ дорівнює
• А $5$ см.
• Б $10$ см.
• В $15$ см.
• Г $25$ см.
• Д $40$ см.

Узгодьте функцію (1–3) із кількістю (А–Д) спільних точок її графіка з прямою $y = -x$.

• 1 $y = -x^3$
• 2 $y = 2 - x$
• 3 $y = 2^x$
• А жодної
• Б одна
• В дві
• Г три
• Д безліч

Узгодьте вираз (1–3) і твердження про його значення (А–Д), що є правильним для цього виразу.

• 1 $\sqrt[3]{-27}$
• 2 $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}$
• 3 $(\sqrt{3} - 1)^2 + 2\sqrt{3}$
• А є цілим від'ємним числом
• Б є ірраціональним додатним числом
• В є ірраціональним від'ємним числом
• Г є натуральним числом
• Д є раціональним нецілим числом

Визначте найбільше ціле значення $a$, за якого коло, задане рівнянням $(x + 7 - 2a)^2 + (y - 3)^2 = 64$, перетинає вісь ординат у двох точках.

Задано функцію $f(x) = \begin{cases} 10, & \text{якщо } x < -2 \\ 4x^2 + 3x, & \text{якщо } x \ge -2 \end{cases}$. Обчисліть $f(-4) - f'(2)$.

Компанія виділила кошти на закупівлю $80$ дерев: $60$ каштанів по $1500$ грн кожний і $20$ яблунь. Вартість кожної яблуні на $40\,\%$ менша за вартість кожного каштана. Знайдіть середню вартість одного дерева (у грн).

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ із гострим кутом $60^\circ$. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює $260$.