НМТ з математики, 13 червня 2025

$(x - 3)^2 = $

• А $x^2 - 9$
• Б $x^2 + 6x - 9$
• В $x^2 - 3x + 9$
• Г $x^2 + 3x - 9$
• Д $x^2 - 6x + 9$

На діаграмі відображено нараховану фірмою загальну суму заробітної плати усім своїм працівникам за перший квартал року. Яку частину від загальної суми заробітної плати за весь квартал становить заробітна плата цієї фірми за січень?

• А $\dfrac{1}{300}$
• Б $\dfrac{3}{13}$
• В $\dfrac{1}{3}$
• Г $\dfrac{1}{12}$
• Д $\dfrac{1}{4}$

Смартфон $AC$ приставлено до вертикальної підставки $BD$ й спирається на горизонтальну поверхню $AD$ (див. рисунок). За наведеними на рисунку даними визначте градусну міру кута $CAD$ нахилу смартфона до поверхні $AD$.

• А $63^\circ$
• Б $37^\circ$
• В $53^\circ$
• Г $27^\circ$
• Д $73^\circ$

Обчисліть дискримінант квадратного рівняння $3x^2 - 2x - 4 = 0$.

• А $\sqrt{52}$
• Б $-44$
• В $52$
• Г $\sqrt{44}$
• Д $29$

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$. $AM$ – медіана трикутника $ABC$. Скільки всього площин можна провести через пряму $AM$ та точку $S$?

• А жодної
• Б лише одну
• В лише дві
• Г лише три
• Д більше як три

Укажіть з-поміж наведених ескіз графіка функції $y = 2x - 3$.

• А Рисунок А
• Б Рисунок Б
• В Рисунок В
• Г Рисунок Г
• Д Рисунок Д

У трикутнику $ABC$ проведено бісектрису кута $A$. Які з наведених тверджень є правильними? I. Будь-яка точка на бісектрисі кута $A$ рівновіддалена від сторін $AC$ і $AB$. II. Бісектриса кута $A$ ділить сторону $BC$ на дві рівні частини. III. Центр уписаного в трикутник кола лежить на бісектрисі кута $A$.

• А лише I
• Б лише II
• В лише III
• Г лише I та II
• Д лише I та III

Спростіть вираз $5^{1+x} \cdot 5^{1-x}$.

• А $5^{1 - x^2}$
• Б $10$
• В $25^{1 - x^2}$
• Г $25$
• Д $5$

Озеро Ялпуг є найбільшою природною водоймою в Україні. Його площа становить $149$ млн м$^2$. Запишіть це число у стандартному вигляді.

• А $14{,}9 \cdot 10^{8}$
• Б $14{,}9 \cdot 10^{-8}$
• В $1{,}49 \cdot 10^{8}$
• Г $149 \cdot 10^{6}$
• Д $0{,}149 \cdot 10^{8}$

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(-1;\,2;\,3)$ і $B$. Точка $B$ лежить на осі $x$ і має абсцису $5$. Визначте довжину відрізка $AB$.

• А $\sqrt{19}$
• Б $\sqrt{59}$
• В $5$
• Г $7$
• Д $49$

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{2x + 10}{5} > -4$.

• А $(-\infty;\,-15)$
• Б $(-5;\,+\infty)$
• В $(-\infty;\,15)$
• Г $(-\infty;\,-5)$
• Д $(-15;\,+\infty)$

У рівнобічній трапеції $ABCD$ ($AB = CD$) на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO = OD$, $\angle AOB = 45^\circ$, $BO = a$, $BC$ утричі менше від $AD$. Знайдіть площу цієї трапеції.

• А $3a^2$
• Б $a^2\sqrt{2}$
• В $4a^2$
• Г $2a^2$
• Д $a^2\sqrt{3}$

Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії $2$; $1{,}4$; $0{,}8$; …

• А $-3{,}6$
• Б $-7$
• В $-11$
• Г $-10$
• Д $47$

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $6\cos 195^\circ \sin 195^\circ$.

• А $(-\infty;\,-2)$
• Б $[-1;\,0)$
• В $[0;\,1)$
• Г $[1;\,2)$
• Д $[2;\,+\infty)$

Розв'яжіть рівняння $|2x - 5| = 8$. Якщо рівняння має кілька коренів, визначте їхню суму.

• А $-1{,}5$
• Б $8$
• В $-6{,}5$
• Г $6{,}5$
• Д $5$

На стороні $BC$ квадрата $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $BK = KC$. Діагональ $BD$ квадрата і відрізок $AK$ перетинаються в точці $M$. Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $120$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А–Д).

• 1 $BK$
• 2 $BD$
• 3 $MD$
• А $12\sqrt{2}$ см
• Б $15$ см
• В $20\sqrt{2}$ см
• Г $18\sqrt{2}$ см
• Д $30\sqrt{2}$ см

На кожному з рисунків (1–3) зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-3;\,3]$. Узгодьте рисунок (1–3) з твердженням (А–Д) щодо функції $y = f(x)$, графік якої зображено на цьому рисунку.

• 1 Рис. 1
• 2 Рис. 2
• 3 Рис. 3
• А графік функції $f$ має лише одну спільну точку з графіком кола $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 1$
• Б похідна функції $f$ є додатною на проміжку $[-3;\,3]$
• В функція $f$ є непарною
• Г значення функції $f$ на кінцях проміжку $[-3;\,3]$ є рівними
• Д функція $f$ має два нулі

Число $\delta = \sqrt{2} + 1$ називають срібним перетином. Узгодьте вираз (1–3) та твердження про його значення (А–Д), яке є правильним для цього виразу.

• 1 $\dfrac{1}{\delta}$
• 2 $\log_2 (\delta - 1)$
• 3 $\sqrt{2} - \delta$
• А є натуральним числом
• Б є цілим від'ємним числом
• В є раціональним нецілим числом
• Г є ірраціональним додатним числом
• Д є ірраціональним від'ємним числом

Знайдіть найменше ціле значення $a$, за якого рівняння $\left(4^{x+1} + 15 \cdot 2^x - 4\right)\left(3 + \lg^2 (3a - 17x)\right) = 0$ має корінь.

На рисунку зображено графіки функцій $y = x^3 + 1$ та $y = 9$. Обчисліть площу зафарбованої фігури, обмеженої графіками функцій $y = x^3 + 1$ і $y = 9$ та прямою $x = 0$.

У салоні пасажирського літака $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по $6$ крісел (по $3$ крісла обабіч проходу) (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в першому ряду біля проходу, дорівнює $\dfrac{1}{102}$. Знайдіть $n$.

Осьовим перерізом конуса з вершиною $K$ є трикутник $ABK$. На серединах твірних $AK$ і $BK$ відповідно вибрано точки $M$ і $P$. Знайдіть об'єм (у см$^3$) конуса $V$, якщо $MK = 25$ см, $MP = 30$ см. У відповіді запишіть значення $\dfrac{V}{\pi}$.