Формула $n$-го члена арифметичної прогресії та формула суми є в довідкових матеріалах НМТ. Вони відкриті у власній вкладці весь час роботи.
Чого там немає – застереження, що $a_1 - a_3$ і $a_3 - a_1$ це різні числа з різними знаками. Саме на ньому тут і падають.
В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6 - a_1 = -30$. Знайдіть значення виразу $a_1 - a_3$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант А. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Д. А найбільше учасників обрали А, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти Б, В, Г: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Знайшли $d = -6$ правильно, а тоді порахували $a_3 - a_1 = 2d = -12$. Питали протилежне:
$$a_1 - a_3 = -(a_3 - a_1) = -2d = -2 \cdot (-6) = 12$$
Уся хиба в порядку двох літер. Найгірше тут те, що $-12$ виглядає «правдоподібно від'ємним», бо прогресія спадна – і саме тому цей варіант і стоїть у переліку.
$-6$ – це і є $d$. Тобто знайшли крок і на цьому спинилися, не зробивши того, про що питали.
Різниця прогресії – проміжна величина, майже ніколи не відповідь. Після неї завжди лишається дія: скільки кроків і в який бік.
У задачі вже є число $-30$, і воно спокушає. Але це $a_6 - a_1$, тобто пʼять кроків прогресії, а не два, та ще й у зворотному напрямку.
$6 = -d$, тобто це $a_1 - a_2$. Напрямок правильний, кроків забракло.
Рахуй їх за індексами: від $a_1$ до $a_3$ різниця індексів $3 - 1 = 2$, отже й кроків два, а не один.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Попроси його виписати три числа. Якщо $d = -6$, то, скажімо, $a_1 = 100$, $a_2 = 94$, $a_3 = 88$.
Тепер прямо: $a_1 - a_3 = 100 - 88 = 12$. Додатне, бо прогресія спадає, і перший член більший за третій.
Це працює для будь-якого $a_1$: він скорочується, лишається тільки $-2d$. Саме тому в умові його й не дали.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
$a_7 - a_1 = -18$. Знайти $a_1 - a_4$.
Від $a_1$ до $a_7$ шість кроків: $6d = -18$, отже $d = -3$. Від $a_1$ до $a_4$ три кроки, тому $a_1 - a_4 = -3d = -3 \cdot (-3) = 9$.
$a_5 - a_1 = 20$. Знайти $a_1 - a_3$.
Чотири кроки дають $4d = 20$, отже $d = 5$. Далі $a_1 - a_3 = -2d$. Допиши число.
$a_9 - a_1 = -32$. Знайди $a_1 - a_5$.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.