У довідкових матеріалах НМТ цього немає: там формули об'ємів і площ поверхонь, а не аксіоми стереометрії. Потрібен один факт, і він короткий: через точку поза площиною проходить рівно одна площина, паралельна цій площині.
Складність тут не в самому факті, а в тому, що піраміда на рисунку збиває з нього. Учень починає шукати площини серед граней і перерізів, хоч питали про площини взагалі, а не про ті, що видно на малюнку.
На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$ з основою $ABC$. Скільки всього різних площин, паралельних площині основи піраміди, можна провести через її вершину $S$?
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Г. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Б. А найбільше учасників обрали Г, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти Д: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
У піраміди три бічні грані, і кожна проходить через вершину $S$. Звідси й береться трійка.
Але жодна з цих граней основі не паралельна: усі три її перетинають, бо спираються на її сторони. Питання ж не про грані, а про площини, і відповідь не залежить від того, скільки в піраміди граней. Через ту саму вершину над трикутною, чотирикутною чи шестикутною основою проходить рівно одна паралельна площина.
Міркування тут глибше, ніж здається, і майже правильне: якщо різати піраміду площиною, паралельною основі, то чим ближче до вершини, тим менший переріз, а в самій вершині він стягується в точку. Перерізу справді немає.
Але площина й переріз це різні речі. Площина існує сама по собі, незалежно від того, чи перетинає вона піраміду по многокутнику. Через вершину вона проходить, основі паралельна, і того, що вона торкається піраміди лише в одній точці, достатньо.
Через точку поза площиною справді проходить безліч прямих, паралельних цій площині. Але площина така одна.
Різницю видно так: паралельних прямих можна накрутити скільки завгодно, і всі вони лежатимуть в одній площині – тій самій єдиній.
Двійка тут не має за собою жодного міркування: паралельних площин не буває двох, бо дві різні площини, паралельні третій, паралельні й між собою, а спільної точки $S$ у них тоді бути не може.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Спитай прямо: скільки площин, паралельних підлозі, проходить через кінчик олівця, який ти тримаєш над нею? Одна – і це видно без жодної теореми.
Потім поверни до піраміди й покажи, звідки взялася трійка. Три бічні грані справді проходять через вершину, але кожна з них нахилена до основи, бо опирається на її сторону. Паралельних серед них немає жодної.
Якщо він відповідає «а перерізу ж немає» – погодься, перерізу справді немає. Площина при цьому є: вона торкається піраміди в одній точці, і цього досить.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Скільки площин, паралельних площині основи, проходить через вершину $S$ чотирикутної піраміди $SABCD$?
Вершина $S$ не лежить у площині основи, а через точку поза площиною проходить рівно одна паралельна їй площина. Отже одна. Кількість бічних граней на відповідь не впливає.
Шестикутна піраміда, вершина $S$ над основою. Бічних граней тепер шість. Скільки площин через $S$ паралельні основі? Спирайся на той самий факт, а не на кількість граней.
Точка $M$ лежить на бічному ребрі піраміди, не збігаючись із вершинами. Скільки площин, паралельних основі, проходить через $M$, і чи буде в такої площини переріз із пірамідою?
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.