Довідкові матеріали НМТ тут не допоможуть: ні пропорції, ні способу підстановки в них немає. Зате обидва кроки прості, і задача переважно програється не на них.
Програється вона на останньому рядку. Система розв'язується, обидва числа знайдено правильно, а у відповідь іде одне з них замість суми. Саме так виглядає найдорожча хиба цієї задачі.
Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{1}{3y} = \dfrac{2}{x}, \\ x - y = 30. \end{cases}$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 =$
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант В. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Г. А найбільше учасників обрали В, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відповідь $36$ – це рівно $x_0$. Тобто система розв'язана правильно: з пропорції вийшло $x = 6y$, підстановка дала $y = 6$, а звідси $x = 36$.
І далі записали $36$, бо це останнє обчислене число. Але питали $x_0 + y_0 = 36 + 6 = 42$.
Це не помилка в математиці, а помилка в читанні. Дієвий захід один: перш ніж шукати відповідь серед варіантів, перечитати останній рядок умови й сказати вголос, що саме питали.
Відповідь $150$ виходить, коли навхрест перемножили в інший бік: замість $x = 6y$ дістали $3y = 2x$, тобто $y = \dfrac{2x}{3}$.
Тоді $x - \dfrac{2x}{3} = 30$, звідки $\dfrac{x}{3} = 30$, $x = 90$ і $y = 60$. Сума $150$.
Перевірити пропорцію легко підстановкою в вихідне рівняння. Наші числа: $\dfrac{1}{3 \cdot 6} = \dfrac{1}{18}$ і $\dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}$ – збігається. Числа $90$ і $60$ дають $\dfrac{1}{180}$ і $\dfrac{2}{90}$, а це різні дроби.
$-150$ це попередня хиба, у якій ще й переплутано, що від чого віднімають у другому рівнянні.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Спитай прямо: «Що просили знайти?»
Найчастіше цього досить: людина бачить $36$ серед варіантів, упізнає своє число й вибирає його не задумуючись. Питання повертає до умови, де написано $x_0 + y_0$.
Якщо ж сумнів у самій пропорції, запропонуй перевірку підстановкою. Візьми знайдені $x = 36$, $y = 6$ і підстав у перше рівняння:
$$\dfrac{1}{3 \cdot 6} = \dfrac{1}{18}, \qquad \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}.$$
Рівність виконується. Друге рівняння: $36 - 6 = 30$ – теж збігається. Отже корені правильні, і лишається їх додати.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Розв'язати систему $\dfrac{1}{2y} = \dfrac{3}{x}$, $x - y = 25$, і знайти $x_0 + y_0$.
Перемножуємо навхрест: $x = 6y$. Підставляємо: $6y - y = 25$, отже $5y = 25$ і $y = 5$, а $x = 30$.
Перевірка: $\dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30}$ – збігається. Сума: $30 + 5 = 35$.
Система $\dfrac{1}{4y} = \dfrac{2}{x}$, $x - y = 21$. Перемнож навхрест, знайди $y$ і $x$, а тоді запиши саме суму.
Система $\dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{x}$, $x + y = 25$. Знайди $x_0 - y_0$ – цього разу питають різницю, тож читай уважно.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.