НМТ з математики, 6 червня 2025

$3^{100} = $

• А $3^{10} \cdot 3^{10}$
• Б $\dfrac{3^{1000}}{3^{10}}$
• В $3^{50} + 3^{50}$
• Г $\left(3^{10}\right)^{10}$
• Д $\left(3^{50}\right)^{50}$

Комп'ютерна програма видаляє у шестицифровому числі одну цифру навмання. Яка ймовірність того, що в числі $125079$ буде видалено цифру, більшу за $5$?

• А $\dfrac{1}{3}$
• Б $\dfrac{2}{3}$
• В $\dfrac{1}{6}$
• Г $\dfrac{1}{4}$
• Д $\dfrac{1}{2}$

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ і $n$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\beta$, якщо $\alpha = 35^\circ$.

• А $135^\circ$
• Б $125^\circ$
• В $155^\circ$
• Г $55^\circ$
• Д $145^\circ$

Розв'яжіть нерівність $1 \le 2x$.

• А $(-\infty;\,2]$
• Б $[0{,}5;\,+\infty)$
• В $(-\infty;\,-1]$
• Г $[2;\,+\infty)$
• Д $(-\infty;\,0{,}5]$

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$, $SO$ – висота піраміди. Укажіть пару прямих, що лежать в одній площині.

• А $SB$ і $AC$
• Б $SO$ і $AC$
• В $SA$ і $BC$
• Г $SO$ і $BC$
• Д $SO$ і $SB$

Графік функції $y = x^3$ паралельно перенесли на $4$ одиниці ліворуч уздовж осі $x$. Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.

• А $y = x^3 - 4$
• Б $y = (x - 4)^3$
• В $y = 4x^3$
• Г $y = (x + 4)^3$
• Д $y = x^3 + 4$

Які з наведених тверджень є правильними? I. У будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл. II. Периметр ромба дорівнює сумі його діагоналей. III. Висота ромба вдвічі більша за радіус уписаного в нього кола.

• А лише I
• Б лише III
• В лише I та II
• Г лише I та III
• Д I, II та III

$12x^3 - x = $

• А $x\left(12x^2 - 1\right)$
• Б $12x\left(x^2 - 1\right)$
• В $x\left(11x^3 - 1\right)$
• Г $12x\left(x^3 - 1\right)$
• Д $x\left(11x^2 - x\right)$

Клієнт банку зняв $0{,}2$ від суми рахунку, після чого на рахунку залишилося $4800$ грн. Визначте, скільки грошей зняли з рахунку.

• А $960$ грн
• Б $1200$ грн
• В $1600$ грн
• Г $600$ грн
• Д $800$ грн

У прямокутній системі координат у просторі задано точку $O(0;\,0;\,0)$. Укажіть з-поміж наведених точку, відстань від якої до точки $O$ дорівнює $10$.

• А $(10;\,10;\,10)$
• Б $(-10;\,10;\,0)$
• В $(5;\,5;\,0)$
• Г $(0;\,-6;\,8)$
• Д $(0;\,4;\,6)$

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{x - 2} = 4$.

• А $[0;\,4)$
• Б $[4;\,8)$
• В $[8;\,16)$
• Г $[16;\,20)$
• Д $[20;\,+\infty)$

Діагональ квадрата $ABCD$ дорівнює $12$ см. На стороні $BC$ квадрата вибрано точку $K$ так, що $\angle KAB = 30^\circ$ (див. рисунок). Визначте площу трикутника $ABK$.

• А $12\sqrt{3}$ см$^2$
• Б $18$ см$^2$
• В $24\sqrt{3}$ см$^2$
• Г $36\sqrt{3}$ см$^2$
• Д $36$ см$^2$

Обчисліть інтеграл $\displaystyle\int_1^5 3f(x)\,dx$, якщо $\displaystyle\int_1^5 f(x)\,dx = 14$.

• А $11$
• Б $42$
• В $17$
• Г $\dfrac{14}{3}$
• Д $52$

Обчисліть $0{,}25^{\log_{0{,}5} 4}$.

• А $16$
• Б $0{,}5$
• В $0{,}25$
• Г $4$
• Д $2$

Укажіть корінь рівняння $2\sin 2x = -1$.

• А $-\dfrac{\pi}{6}$
• Б $\dfrac{\pi}{3}$
• В $\dfrac{\pi}{12}$
• Г $\dfrac{7\pi}{6}$
• Д $-\dfrac{\pi}{12}$

У паралелограмі $ABCD$ на сторону $AD$ проведено висоту $BK$ (див. рисунок). $BK = 6$ см, $AK = 8$ см, $KD = 4$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А–Д).

• 1 $AB$
• 2 Середня лінія трапеції $KBCD$
• 3 Відстань від точки $B$ до сторони $CD$
• А $6$ см
• Б $7{,}2$ см
• В $8$ см
• Г $10$ см
• Д $12$ см

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А–Д).

• 1 $y = 7x + 4$
• 2 $y = -\dfrac{7}{x}$
• 3 $y = \log_{0{,}1} (x - 4)$
• А парна
• Б непарна
• В область визначення функції є проміжок $(0;\,+\infty)$
• Г графік функції перетинає вісь $y$ в точці з ординатою $4$
• Д спадає на всій області визначення

Узгодьте вираз (1–3) і твердження про його значення (А–Д), яке є правильним для цього виразу, де $e \approx 2{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

• 1 $\ln \dfrac{1}{e}$
• 2 $e + 1$
• 3 $(e - 1)^2 - e^2 + 2e$
• А є додатним цілим числом
• Б є від'ємним цілим числом
• В є додатним нецілим числом
• Г є від'ємним нецілим числом
• Д дорівнює $0$

Знайдіть найбільше значення $a$, за якого система рівнянь $\begin{cases} 3^x + y^2 = a + 3, \\ 3^{x+1} + 2y^2 = 7a + 6 \end{cases}$ має хоча б один розв'язок.

Дотична, проведена до графіка функції $f(x) = -15 + 8x - x^2$ у точці з абсцисою $x_0$, паралельна до прямої $y = x$. Знайдіть $x_0$.

Серед студентів провели опитування щодо їхніх улюблених жанрів фільмів. Результати опитування наведено на круговій діаграмі (див. рисунок). Відомо, що фантастику полюбляють на $45$ осіб більше, ніж жанр «Хоррор». Визначте загальну кількість студентів, які взяли участь в опитуванні.

Задано конус з бічною поверхнею $260\pi$. Відстань від центра основи конуса до середини твірної дорівнює $13$. Знайдіть об'єм $V$ цього конуса. У відповіді запишіть значення $\dfrac{V}{\pi}$.