задачі з параметром, системи рівнянь, показникові рівняння
НМТ 06.06.2025
Знайдіть найбільше значення $a$, за якого система рівнянь $\begin{cases} 3^x + y^2 = a + 3, \\ 3^{x+1} + 2y^2 = 7a + 6 \end{cases}$ має хоча б один розв'язок.
Заміна $u = 3^x$ і $v = y^2$ робить систему лінійною. Але заміна не безкоштовна: вона додає обмеження $u > 0$ і $v \ge 0$.
Зауваж, що $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x = 3u$. Розв'яжи лінійну систему відносно $u$ і $v$, а тоді запиши обидві нерівності на $a$.