задачі з параметром, системи рівнянь, показникові рівняння
НМТ 16.06.2025
Визначте суму всіх цілих значень $a$, за кожного з яких система рівнянь $\begin{cases} 3^x + y^2 = a + 8, \\ 3^{x+1} + 2y^2 = 5a + 6 \end{cases}$ має принаймні один розв'язок.
Заміна $u = 3^x$, $v = y^2$ робить систему лінійною; зауваж, що $3^{x+1} = 3u$.
Обмеження заміни й дають відповідь: показникова функція строго додатна ($u > 0$), а квадрат невід'ємний ($v \ge 0$).