У довідкових матеріалах НМТ є все про координати й вектори: як знайти координати вектора за двома точками, як порахувати його довжину, дії з векторами. Учити напам'ять не треба.
Чого там немає – відповіді на питання, які саме дві точки брати і в якому порядку. Саме тут і губляться бали: різниця з правильними числами, але не в той бік, дає інший вектор.
У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вершина $A$ якого збігається з початком координат, а ребра $AB$, $AD$ й $AA_1$ лежать на координатних осях (див. рисунок). Визначте координати вектора $\overrightarrow{DB_1}$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Б. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – В. А найбільше учасників обрали Б, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти А, Г: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Прочитали з рисунка розміри $2$, $3$, $4$ і виписали їх як координати вектора. Числа правильні, знак другої координати – ні.
Точка $D$ лежить на осі $y$ у точці $3$, а точка $B_1$ – на нулі по $y$. Отже по цій осі ми йдемо назад:
$$0 - 3 = -3$$
Розміри паралелепіпеда завжди додатні, координати вектора – ні. Це різні речі, і рисунок показує саме перші.
Дві перші координати тут із різниці $D - B_1$, а третя – з $B_1 - D$:
$$(0 - 2;\; 3 - 0;\; 4 - 0) = (-2;\, 3;\, 4)$$
Тобто напрямок віднімання посеред обчислення змінився. Так буває, коли кожну координату рахують окремо, дивлячись на рисунок, замість того щоб один раз записати «кінець мінус початок» і триматися цього до кінця.
Варіант $(-2;\, 3;\, -4)$ теж є серед відповідей, і він послідовний: це саме $D - B_1$, тобто вектор $\overrightarrow{B_1D}$. Помилка там лише одна: переплутано, де початок.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Спитай, які саме точки він відняв. Координати вектора – це завжди кінець мінус початок, і в $\overrightarrow{DB_1}$ початок – це $D$.
Випиши обидві точки: $D(0;\, 3;\, 0)$ і $B_1(2;\, 0;\, 4)$. Тоді $B_1 - D = (2 - 0;\; 0 - 3;\; 4 - 0)$. Друга координата виходить $-3$ сама, без жодних міркувань про напрям.
А якщо порахувати навпаки, $D - B_1$, дістанеш вектор $\overrightarrow{B_1D}$ – протилежний, і всі три знаки в нього інші.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Куб з ребром $5$, вершина $A$ в початку координат. Знайти $\overrightarrow{DB_1}$, де $D(0;\, 5;\, 0)$, $B_1(5;\, 0;\, 5)$.
Кінець мінус початок: $\overrightarrow{DB_1} = (5 - 0;\; 0 - 5;\; 5 - 0) = (5;\, -5;\, 5)$.
Паралелепіпед із ребрами $AB = 4$, $AD = 1$, $AA_1 = 6$. Тоді $D(0;\, 1;\, 0)$, $B_1(4;\, 0;\, 6)$, отже $\overrightarrow{DB_1} = (4 - 0;\; 0 - 1;\; 6 - 0)$. Допиши три числа.
Ребра $AB = 3$, $AD = 7$, $AA_1 = 2$. Знайди $\overrightarrow{DB_1}$ і окремо $\overrightarrow{B_1D}$.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.