У довідкових матеріалах НМТ є означення логарифма й усі його властивості. Того, що тут потрібно, теж: логарифм це показник, у який треба піднести основу, щоб дістати число.
Чого там немає – двох застережень, на яких і губляться бали. Перше: основа менша за одиницю дає від'ємний показник для числа, більшого за одиницю. Друге: коли відповідь потрапляє рівно на межу проміжку, важливо, кругла там дужка чи квадратна. Тут хибну відповідь обрало більше людей, ніж правильну.
Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $\log_{0{,}2} 125$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Г. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Б. А найбільше учасників обрали Г, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відповідь $3$ замість $-3$. Так виходить, коли рахують показник для основи $5$, а не для $0{,}2$:
$$5^3 = 125,$$
і трійку записують у відповідь. Але в задачі основа $0{,}2 = \dfrac{1}{5}$, тобто обернене число, і показник змінює знак:
$$\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125.$$
Перевірка, яка ловить цю хибу без обчислень: основа менша за одиницю, а число більше за одиницю. Щоб дріб, менший за одиницю, виріс до $125$, його треба підносити до від'ємного степеня. Отже відповідь від'ємна, і всі невід'ємні проміжки відпадають одразу.
Відповідь потрапляє у проміжок $[25;\,+\infty)$, коли замість логарифма рахують щось на кшталт $125 : 5$. Це вже не показник, а число, і воно не може бути значенням логарифма від числа такого порядку.
Та сама швидка перевірка ловить і цю хибу: значення логарифма з основою, меншою за одиницю, від числа, більшого за одиницю, від'ємне.
Найтонша хиба задачі, і вона майже правильна: показник знайдено вірно, а проміжок обрано сусідній.
Дужка вирішує все. У записі $(-\infty;\,-3)$ права дужка кругла, тобто саме число $-3$ до проміжку не входить. А в записі $[-3;\,0)$ ліва дужка квадратна, отже $-3$ входить.
Наше значення дорівнює рівно $-3$, тож воно належить другому проміжку, а не першому.
Проміжок $[0;\,3)$ обирають ті, хто вирішив, що логарифм тут додатний, але невеликий. Знак визначається до будь-яких обчислень – див. перевірку вище.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Не починай із обчислень. Спитай лише про знак.
Основа $0{,}2$ менша за одиницю. Якщо підносити її до додатного степеня, число тільки зменшується: $0{,}2^2 = 0{,}04$, $0{,}2^3 = 0{,}008$. А нам потрібно дістати $125$, тобто число велике. Отже показник від'ємний, і три проміжки з п'яти відпадають, поки ми ще нічого не рахували.
Далі рахуємо: $0{,}2 = 5^{-1}$, $125 = 5^3$, тому
$$\left(5^{-1}\right)^{t} = 5^3, \quad -t = 3, \quad t = -3.$$
І наостанок покажи дужки. $-3$ лежить на межі двох проміжків, і належить тому, де дужка квадратна: $[-3;\,0)$.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Обчислити $\log_{0{,}5} 8$.
Знак: основа менша за одиницю, число більше за одиницю, отже відповідь від'ємна. Далі $0{,}5 = 2^{-1}$, $8 = 2^3$, тому показник дорівнює $-3$.
Перевірка: $0{,}5^{-3} = 2^3 = 8$ – збігається.
Обчисли $\log_{0{,}1} 1000$. Запиши обидва числа степенями десятки й визнач показник. Знак назви ще до обчислення.
Знайди $\log_{0{,}2} 25$ і вкажи, якому з проміжків належить результат: $(-\infty;\,-2)$ чи $[-2;\,0)$. Поясни вибір дужкою.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.