У довідкових матеріалах НМТ немає ні нерівності трикутника, ні властивостей паралелограма. Це базові факти, і їх треба знати.
Але справжня складність тут не в них. Завдання перевіряє не пам'ять, а готовність перевірити кожне твердження окремо. Твердження зі словом «існує» спростовується інакше, ніж підтверджується: щоб підтвердити, досить одного прикладу, а щоб спростувати, треба показати, що приклад неможливий узагалі. На цьому й губляться бали: хибну відповідь тут обрало більше людей, ніж правильну.
Які з наведених тверджень є правильними?
I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідніх сторін.
II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.
III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Б. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – В. А найбільше учасників обрали Б, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Найдорожча хиба всієї задачі. Твердження I звучить нешкідливо, і його приймають, бо не видно, що саме з ним не так.
Подивись на трикутник, який утворюють дві сусідні сторони й діагональ між ними. У будь-якому трикутнику сума двох сторін більша за третю:
$$a + b > d$$
Рівність $a + b = d$ означала б, що трикутник вироджений: третя вершина лягла на відрізок між двома іншими. Тоді й паралелограма немає, він сплющився в відрізок. Отже такого паралелограма не існує, і твердження I хибне.
Тут теж прийняли твердження I, але ще й відкинули правильне III. А діагоналі паралелограма бувають перпендикулярні: це ромб.
Ромб – окремий випадок паралелограма, а не окрема фігура, тому твердження «існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні» правильне. Достатньо одного прикладу, і квадрат теж підходить.
Твердження II прийняли правильно, а III відкинули. Причина та сама, що й вище: ромб не впізнали як паралелограм.
Тут не перевіряли жодного: якщо всі три звучать правдоподібно, спокуса обрати «усі» велика. Але твердження I неможливе, і одного цього досить, щоб варіант відпав.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Візьми лінійку й попроси скласти паралелограм зі сторонами $3$ і $4$, у якого діагональ дорівнює $7$.
Він швидко побачить, що не виходить: щоб дотягнутися від кінця однієї сторони до кінця другої по прямій, потрібно рівно $7$, і фігура складається в відрізок. Це й означає, що нерівність трикутника тут строга.
Далі спитай про III окремо. «Чи є паралелограм, у якого діагоналі перпендикулярні?» – і намалюй ромб. Часто відповідь змінюється одразу: ромб знають, але не згадують, що він паралелограм.
І про II: сусідні кути паралелограма дають $180°$, тож із $x + 2x = 180°$ виходить $60°$ і $120°$. Така фігура є, отже твердження правильне.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Чи існує паралелограм зі сторонами $5$ і $8$, діагональ якого дорівнює $13$?
Дві сторони й діагональ утворюють трикутник, а $5 + 8 = 13$. Сума двох сторін дорівнює третій, тобто трикутник вироджений. Такого паралелограма не існує.
Сторони $6$ і $9$, діагональ $14$. Порівняй $6 + 9$ з $14$ і скажи, чи існує такий паралелограм.
Назви паралелограм, у якого діагоналі перпендикулярні, і паралелограм, у якого один кут утричі більший за сусідній. Для другого спочатку склади рівняння на суму сусідніх кутів.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.