Формул для цієї задачі в довідкових матеріалах НМТ немає й не потрібно: тут працюють два шкільні кроки, винесення спільного множника й віднімання дробів з однаковим знаменником.
Небезпека в іншому. Коли з дробу віднімають дріб, мінус діє на весь чисельник, а не лише на його перший доданок. Дужок у записі немає, і про це забувають: тут хибну відповідь обрало більше людей, ніж правильну.
Спростіть вираз $\dfrac{a^2 + ab}{(a + b)^2} - \dfrac{2a + b}{a + b}$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Г. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Д. А найбільше учасників обрали Г, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Найдорожча хиба задачі. Після скорочення першого дробу лишається
$$\dfrac{a}{a + b} - \dfrac{2a + b}{a + b},$$
і далі замість віднімання всього чисельника віднімають лише $2a$, а $b$ переносять зі знаком плюс:
$$a - 2a + b \quad \text{замість} \quad a - (2a + b).$$
Звідси й береться $\dfrac{3a + b}{a + b}$ у варіанті: насправді там навіть не віднімання, а додавання чисельників.
Правильно так:
$$a - (2a + b) = a - 2a - b = -a - b.$$
Щоб не помилитися, бери чисельник, який віднімаєш, у дужки одразу, ще до того, як почнеш спрощувати.
### Б і В. Дріб лишився там, де його вже немає
Варіанти $\dfrac{a - b}{a + b}$ і $\dfrac{b - a}{a + b}$ відрізняються один від одного лише порядком у чисельнику, і обидва означають, що в чисельнику щось загубилося дорогою.
Тут не варто відновлювати хід міркування – швидше перевірити числами. Візьми $a = 1$, $b = 1$. Вихідний вираз дає
$$\dfrac{1 + 1}{4} - \dfrac{2 + 1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} = -1,$$
а обидва ці варіанти дають $\dfrac{0}{2} = 0$. Не збігається, отже обидва хибні. Підстановка одного набору чисел відсіює їх за пів хвилини.
Тут спрощення доведено до кінця правильно, а знак загублено в останньому рядку: $\dfrac{-(a+b)}{a+b}$ прочитали як $1$, не помітивши мінуса перед дужкою.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Запропонуй підставити числа ще до будь-яких перетворень. Нехай $a = 1$, $b = 1$:
$$\dfrac{1 + 1}{(1+1)^2} - \dfrac{2 + 1}{1 + 1} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} = -1.$$
Відповідь уже відома, і лишається знайти серед варіантів той, що дає $-1$ при тих самих числах. Варіанти Б і В дають нуль, А дає одиницю, Г дає двійку – перебір займає пів хвилини й не потребує жодних перетворень.
Потім поверни до самого перетворення й покажи місце помилки: у першому дробі виносимо $a$ і скорочуємо,
$$\dfrac{a(a + b)}{(a + b)^2} = \dfrac{a}{a + b},$$
а далі віднімаємо весь чисельник другого дробу:
$$\dfrac{a - (2a + b)}{a + b} = \dfrac{-a - b}{a + b} = -1.$$
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Спростити $\dfrac{x}{x + y} - \dfrac{2x + y}{x + y}$.
Знаменники однакові, віднімаємо чисельники, беручи другий у дужки:
$$\dfrac{x - (2x + y)}{x + y} = \dfrac{-x - y}{x + y} = -1.$$
Перевірка при $x = y = 1$: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} = -1$ – збігається.
Спрости $\dfrac{m}{m + n} - \dfrac{3m + n}{m + n}$. Візьми другий чисельник у дужки, розкрий їх і скороти. Перевір при $m = n = 1$.
Спрости $\dfrac{a^2 - ab}{(a - b)^2} - \dfrac{2a - b}{a - b}$ і перевір результат підстановкою $a = 2$, $b = 1$.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.