Формула площі паралелограма в довідкових матеріалах НМТ є: сторона на висоту до неї. Є й співвідношення в прямокутному трикутнику.
Але тут потрібна не формула, а один окремий факт: катет навпроти кута $30°$ дорівнює половині гіпотенузи. Хто замість нього тягне синуси й косинуси, частіше помиляється, бо в трьох варіантах із п'яти стоїть корінь із трьох, і серед них легко заблукати.
У паралелограмі $ABCD$ $\angle A = 30°$, бічна сторона $AB = 12$ см. Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см$^2$) цього паралелограма.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Д. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – В. А найбільше учасників обрали Д, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відповідь $216$ – це $12 \cdot 18$, тобто добуток двох сторін паралелограма.
Але площа паралелограма дорівнює стороні на висоту, а не стороні на сторону. Добуток сторін давав би площу лише для прямокутника, де висота збігається з бічною стороною.
Бачити різницю просто: висота тут дорівнює $6$, а бічна сторона $12$, тобто удвічі більша. Тому й відповідь удвічі завелика.
### Г і Б. Приплели корінь із трьох
Варіанти $108\sqrt{3}$ і $54\sqrt{3}$ виникають, коли висоту шукають через косинус або через синус $60°$, і в обчисленні лишається $\sqrt{3}$.
Тут корінь не потрібен зовсім. Висота лежить навпроти кута $30°$, а такий катет дорівнює половині гіпотенузи:
$$h = \dfrac{12}{2} = 6.$$
Жодного кореня. Корінь із трьох з'явився б, якби шукали другий катет, той, що лежить уздовж основи, але він у задачі не потрібен.
$54$ – це половина правильної відповіді. Так буває, коли до площі паралелограма помилково застосовують формулу площі трикутника, де є множник одна друга.
У паралелограма цього множника немає: він якраз складається з двох таких трикутників.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Спитай, чому дорівнює висота, і не приймай відповіді з коренем.
Висота опущена з вершини $B$ на сторону $AD$, і в трикутнику, що утворився, прямий кут при основі, а кут при $A$ дорівнює $30°$. Висота лежить навпроти цього кута, отже дорівнює половині гіпотенузи $AB$, тобто $6$.
Далі умова: сторона $AD$ утричі більша за висоту, отже $AD = 18$.
І нарешті площа:
$$S = AD \cdot h = 18 \cdot 6 = 108.$$
Якщо він наполягає на синусах, покажи, що вони дають те саме: $h = AB \sin 30° = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$. Корінь із трьох з'явився б лише для $\cos 30°$, а косинус тут не потрібен.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
У паралелограмі кут $30°$, бічна сторона $10$, а основа дорівнює висоті, помноженій на $4$. Знайти площу.
Висота навпроти кута $30°$: $h = 10 : 2 = 5$. Основа: $4 \cdot 5 = 20$. Площа: $20 \cdot 5 = 100$.
Кут $30°$, бічна сторона $14$, основа вдвічі більша за висоту. Знайди висоту, потім основу, потім площу.
Кут $30°$, бічна сторона $16$, основа дорівнює $20$. Знайди площу, а тоді скажи, у скільки разів вона менша за добуток сторін.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.