У довідкових матеріалах НМТ властивостей трапеції немає. Потрібні три факти, і всі зі шкільної програми: що таке середня лінія, що робить із трапецією діагональ і чим особлива рівнобічна трапеція.
Ціна помилки тут висока, бо хибну відповідь обрало більше людей, ніж правильну. І причина в одному конкретному місці: середню лінію плутають із тим, що вона перетинає.
Які з наведених тверджень є правильними?
I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Б. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – А. А найбільше учасників обрали Б, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Найдорожча хиба задачі, і вона майже правильна. Середня лінія справді перетинає обидві діагоналі, ба більше – проходить через їхні середини. Звідси й береться враження, що вона проходить і через точку перетину.
Але це різні точки. Точка перетину діагоналей ділить висоту трапеції у відношенні основ, а середня лінія проходить рівно посередині між ними. Вони збіглися б лише тоді, коли основи рівні, а це вже паралелограм, не трапеція.
Перевір на числах: основи $2$ і $6$, висота $8$. Відстань від основи до точки перетину пропорційна самій цій основі: від меншої це $8 \cdot \dfrac{2}{8} = 2$, від більшої $8 \cdot \dfrac{6}{8} = 6$. А середня лінія стоїть посередині, тобто на висоті $4$. Двійка й четвірка не збігаються.
Діагональ справді ділить трапецію на два трикутники, і в них спільна сторона – сама діагональ. Але основою одного трикутника є менша основа трапеції, а другого – більша.
За означенням трапеції ці основи різні, тож трикутники мають різні сторони й рівними бути не можуть. Слово «рівні» тут означає «однакові», а не «рівної площі» – площі в них теж різні, бо висота спільна, а основи ні.
Тут прийняли обидва хибні твердження й відкинули єдине правильне. Варто перевірити саме III: діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Це стандартна властивість, і доводиться вона рівністю трикутників, які діагоналі утворюють з основою.
Не перевіряли жодного. Тут вистачає спростувати одне, щоб варіант відпав, а хибних насправді два.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Намалюй трапецію з дуже різними основами – скажімо, $1$ і $9$. Тоді точка перетину діагоналей помітно зсунеться до короткої основи, а середня лінія лишиться посередині. Різниця стане видною на око, і сперечатися не буде про що.
Якщо він відповідає «але ж середня лінія перетинає діагоналі» – погодься. Перетинає, і навіть ділить кожну навпіл. Питання в іншому: чи проходить вона через ту єдину точку, де діагоналі перетинаються між собою. Не проходить, крім випадку рівних основ.
Для II запропонуй порівняти дві частини: у них спільна діагональ, але різні основи. Рівними такі трикутники бути не можуть.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Трапеція з основами $4$ і $12$, висота $8$. Де стоїть середня лінія і де точка перетину діагоналей?
Середня лінія – посередині, на висоті $4$ від будь-якої основи. Точка перетину діагоналей ділить висоту у відношенні основ $4:12$, тобто стоїть на відстані $2$ від меншої основи. Числа $4$ і $2$ різні, отже це різні точки.
Основи $3$ і $9$, висота $8$. Середня лінія на висоті $4$. Порахуй, на якій висоті від меншої основи стоїть точка перетину діагоналей, і порівняй.
Для якої трапеції середня лінія все ж пройшла б через точку перетину діагоналей? Запиши умову на основи й поясни, чому така фігура вже не трапеція.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.