Властивості степенів і коренів у довідкових матеріалах НМТ є, і обидві потрібні тут: степінь добутку дорівнює добутку степенів, а куб кубічного кореня повертає підкореневе число.
Складність в іншому. Дія одна, але множників два, і до кожного треба застосувати куб окремо. Хто підносить лише один із них, дістає відповідь, що відрізняється від правильної в сотні разів.
Обчисліть $\left(\dfrac{1}{7} \cdot \sqrt[3]{7}\right)^3$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Д. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Г. А найбільше учасників обрали Д, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти Б: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відповідь $49$ – це обернене до правильного $\dfrac{1}{49}$.
Коли підносять до куба дріб $\dfrac{1}{7}$, чисельник і знаменник підносяться кожен окремо:
$$\left(\dfrac{1}{7}\right)^3 = \dfrac{1^3}{7^3} = \dfrac{1}{343}.$$
Число $343$ лишається внизу. Якщо воно опинилося зверху, дріб десь перевернувся.
Швидка перевірка: обидва множники менші за одиницю чи ні? $\dfrac{1}{7}$ менше, $\sqrt[3]{7} \approx 1{,}9$ більше. Їхній добуток близько $0{,}28$, а куб такого числа тим більше менший за одиницю. Отже відповідь мусить бути дробом, і всі цілі варіанти відпадають одразу.
$27$ з'являється, коли куб застосовують до трійки, якої в задачі немає: кубічний корінь сприймають як «трійку» й підносять її до куба.
Але показник кореня – це не множник. Куб кубічного кореня дає саме підкореневе число:
$$\left(\sqrt[3]{7}\right)^3 = 7.$$
Одиниця виходить, коли $\dfrac{1}{7}$ і $\sqrt[3]{7}$ вважають взаємно оберненими. Вони не обернені: обернене до $\dfrac{1}{7}$ це $7$, а не $\sqrt[3]{7}$.
$\dfrac{1}{7}$ – це значення дробу з умови, без жодної дії. Куб зовні дужок лишився невикористаним.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Спитай, що дає куб кожного множника окремо.
Перший: $\left(\dfrac{1}{7}\right)^3 = \dfrac{1}{343}$. Другий: $\left(\sqrt[3]{7}\right)^3 = 7$. І лише тоді перемножуємо:
$$\dfrac{1}{343} \cdot 7 = \dfrac{7}{343} = \dfrac{1}{49}.$$
Якщо відповідь ціла, це вже привід перевірити: дріб $\dfrac{1}{7}$ у кубі дає дуже мале число, і сімка його до одиниці не витягне.
Є й коротший шлях, який іноді доходить швидше. Запишемо корінь степенем: $\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$, тоді
$$\left(7^{-1} \cdot 7^{1/3}\right)^3 = \left(7^{-2/3}\right)^3 = 7^{-2} = \dfrac{1}{49}.$$
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Обчислити $\left(\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{2}\right)^3$.
Куб кожного множника окремо: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$, $\left(\sqrt[3]{2}\right)^3 = 2$. Добуток:
$$\dfrac{1}{8} \cdot 2 = \dfrac{1}{4}.$$
Обчисли $\left(\dfrac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{3}\right)^3$. Піднеси до куба кожен множник окремо, а тоді перемнож.
Обчисли $\left(\dfrac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{5}\right)^3$ і скажи, за якою закономірністю виходить відповідь для основи $n$.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.