НМТ з математики 2023

Для облаштування кафе було придбано столи і стільці у співвідношенні $1:3$ відповідно. Укажіть діаграму, на якій правильно відображено розподіл придбаних столів і стільців.

• А діаграма А
• Б діаграма Б
• В діаграма В
• Г діаграма Г
• Д діаграма Д

$2(5x + 6) =$

• А $5x + 8$
• Б $10x + 6$
• В $7x + 8$
• Г $7x + 12$
• Д $10x + 12$

Точки $A$ і $B$ лежать на колі радіуса $16$. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.

• А $4$
• Б $8$
• В $16$
• Г $32$
• Д $64$

Розв'яжіть нерівність $x + 3 \leqslant 0$.

• А $[0;\,3]$
• Б $(-\infty;\,3]$
• В $(-\infty;\,-3]$
• Г $(3;\,+\infty]$
• Д $(-3;\,+\infty]$

Визначте координати вектора, який є сумою векторів $\vec{a}(2;\,-2;\,3)$ і $\vec{b}(-7;\,-3;\,4)$.

• А $(9;\,1;\,-1)$
• Б $(-5;\,-5;\,7)$
• В $(-9;\,-1;\,1)$
• Г $(5;\,5;\,7)$
• Д $(-5;\,1;\,7)$

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-3;\,3]$. Укажіть нуль цієї функції.

• А $-3$
• Б $-2$
• В $0$
• Г $3$
• Д $4$

Плату за користування комп'ютерною програмою підвищили зі $140$ грн у $2021$ р. до $161$ грн у $2022$ р. На скільки відсотків збільшили плату у $2022$ р. порівняно із $2021$ р.?

• А $10$
• Б $15$
• В $21$
• Г $85$
• Д $115$

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…

• А квадрата навколо його сторони».
• Б прямокутника навколо його діагоналі».
• В прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».
• Г прямокутного трикутника навколо його катета».
• Д квадрата навколо його діагоналі».

Обчисліть $\left(\dfrac{1}{7} \cdot \sqrt[3]{7}\right)^3$.

• А $27$
• Б $\dfrac{1}{7}$
• В $1$
• Г $\dfrac{1}{49}$
• Д $49$

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

• А лише III
• Б лише I та III
• В лише I та II
• Г лише II та III
• Д I, II та III

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{1}{3y} = \dfrac{2}{x}, \\ x - y = 30. \end{cases}$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 =$

• А $-150$
• Б $35$
• В $36$
• Г $42$
• Д $150$

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x(t) = 6t^2$, де $x(t)$ – координата точки, $t$ – час. За якою формулою визначають швидкість $v(t)$ цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t$?

• А $v(t) = 6t$
• Б $v(t) = 12t$
• В $v(t) = 2t^3$
• Г $v(t) = 6t^3$
• Д $v(t) = 3t$

У паралелограмі $ABCD$ $\angle A = 30°$, бічна сторона $AB = 12$ см. Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см$^2$) цього паралелограма.

• А $54$
• Б $54\sqrt{3}$
• В $108$
• Г $108\sqrt{3}$
• Д $216$

Спростіть вираз $\dfrac{a^2 + ab}{(a + b)^2} - \dfrac{2a + b}{a + b}$.

• А $1$
• Б $\dfrac{a - b}{a + b}$
• В $\dfrac{b - a}{a + b}$
• Г $\dfrac{3a + b}{a + b}$
• Д $-1$

Укажіть корінь рівняння $\sin 4x = -1$.

• А $\dfrac{3\pi}{8}$
• Б $\dfrac{\pi}{8}$
• В $\dfrac{\pi}{4}$
• Г $-\dfrac{\pi}{4}$
• Д $-\dfrac{\pi}{2}$

Узгодьте твердження ($1-3$) із функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

• 1 областю значень функції є проміжок $[0;\,+\infty)$
• 2 графік функції симетричний відносно осі $y$
• 3 найменшого значення на відрізку $[1;\,4]$ функція набуває в точці $x = 4$
• А $y = x^2 + 4$
• Б $y = x$
• В $y = \sqrt{x}$
• Г $y = \log_{0{,}5} x$
• Д $y = -\dfrac{1}{x}$

До початку речення ($1-3$) доберіть закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n$ – натуральне число.

• 1 Якщо $\dfrac{n}{a} = 3$, то
• 2 Якщо $1 + \log_3 n = \log_3 a$, то
• 3 Якщо $3^{\,n} \cdot 3 = 3^{\,a}$, то
• А $a = 3n$.
• Б $a = n + 1$.
• В $a = n + 3$.
• Г $a = \dfrac{3}{n}$.
• Д $a = \dfrac{n}{3}$.

У прямокутному трикутнику $ACB$ $\angle C = 90°$, $\angle B = 24°$. На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK = KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB$. Узгодьте кут ($1-3$) із його градусною мірою (А – Д).

• 1 $\angle BAC$
• 2 $\angle KBC$
• 3 $\angle OKB$
• А $24°$
• Б $34°$
• В $42°$
• Г $66°$
• Д $72°$

Число $27$ є членом арифметичної прогресії з різницею $d = 5$. Визначте числа з проміжку $(60;\,75)$, що є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.

Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із $5$ книг, у якому $2$ збірники олімпіадних задач та $3$ науково-популярні книги. Скільки всього варіантів формування такого комплекту книг, якщо є $8$ різних збірників та $10$ різних науково-популярних книг?

Основою прямої призми є ромб зі стороною $20$. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює $58$. Визначте об'єм призми, якщо її висота дорівнює $5$.

Визначте кількість цілих значень $a$, за яких корені $x_1$ та $x_2$ квадратного рівняння $x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$ задовольняють умову $x_1 < 1 < x_2$.